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\newtheorem{theorem}{Theorem}
% 定义 Lemma 环境，并与 Theorem 共享编号
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
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\title{广义函数与傅立叶变换}
\author{陈柏均 }
\date{}
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% ========== 数学命令 ==========
\newcommand{\diff}{\mathop{}\!\mathrm{d}}  % 微分符号
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}                % 实数集
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}                % 复数集
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}                % 整数集
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\begin{document}
	
	\maketitle
	\tableofcontents
		\chapter{傅里叶变换的性质}
	
	\section{傅里叶变换的基本性质}
	

	

	
	\begin{proposition}[平移性质]
		傅里叶变换的时域平移性质表明：
		\[
		\mathcal{F}[f(t-t_0)](\omega) = e^{-i\omega t_0} \mathcal{F}[f(t)](\omega)
		\]
		或者
		\[
		F(T_{a} f)(\omega) = M_{-a} \cdot F[f](\omega)
		\]
		\begin{proof}
			\begin{align*}
				\mathcal{F}(T_af)(\omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x - a) e^{-i\omega x} dx \\[6pt]
				&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega (t + a)} dt \quad \text{(令 } t = x - a\text{)} \\[6pt]
				&= e^{-ia\omega} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt= e^{-ia\omega} \hat{f}(\omega)
			\end{align*}
		\end{proof}
	\end{proposition}
	
	\begin{proposition}[伸缩性质]
		傅里叶变换的伸缩性质性质表明：
		\[
		\mathcal{F}[f(at)](\omega) = \frac{1}{|a|} \mathcal{F}[f(t)]\left(\frac{\omega}{a}\right)
		\]
		或者
		\[
		F(D_{a} f)(\omega) = \frac{1}{|a|} F[f]\left(D_{\frac{1}{a}} \omega\right)
		\]
		\begin{proof}
			\[
			\mathcal{F}(D_a f)(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(at) e^{-i\omega t} dt
			\]
			为了简化这个积分，我们进行变量替换 \(u = at\)，因此 \(t = \frac{u}{a}\) 且 \(dt = \frac{du}{a}\)。将这些代入积分中，我们得到：
		\begin{align*}
			\mathcal{F}(D_a f)(\omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(at) e^{-i\omega t} dt \\[6pt]
			&= \frac{1}{|a|} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\left(\frac{\omega}{a}\right)t} dt \\[6pt]
			&= \frac{1}{|a|} \mathcal{F}[f(t)]\left(\frac{\omega}{a}\right)
		\end{align*}
		\end{proof}
	\end{proposition}
	
	\begin{proposition}[调制性质]
		傅里叶变换的调制性质表明：
		\[
		\mathcal{F}[e^{i\omega_0 t} f(t)](\omega) = \mathcal{F}[f(t)](\omega - \omega_0)
		\]
		或者
		\[
		F(M_{a} f)(\omega) = F[f](T_{a} \omega)
		\]
		\begin{proof}
			\begin{align*}
				\mathcal{F}(M_bf)(\omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ibx} f(x) e^{-i\omega x} dx \\
				&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i(\omega - b)x} dx
			\end{align*}
		\end{proof}
	\end{proposition}
	
		\begin{example}
		推导函数 $f\left(\frac{t-b}{a}\right)$ 的傅里叶变换，其中 $a,b$ 为常数且 $a \neq 0$。
		\begin{align*}
			\mathcal{F}\left[f\left(\frac{t-b}{a}\right)\right](\omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f\left(\frac{t-b}{a}\right) e^{-i\omega t} \diff t
		\end{align*}
		设 $u = \frac{t-b}{a}$，则 $t = au+b$，$\diff t = a \diff u$。当 $a<0$ 时，积分上下限反转，引入的负号与系数 $a$ 结合为 $|a|$。
		\begin{align*}
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) e^{-i\omega(au+b)} |a| \diff u \\[6pt]
			&= |a| e^{-i\omega b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) e^{-i(a\omega)u} \diff u \\[6pt]
			&= |a| e^{-i\omega b} \mathcal{F}[f](a\omega)
		\end{align*}
	\end{example}
	
		\vspace{1\baselineskip} 
	\begin{example}
		推导 $f(at-b)$ 的傅里叶变换。
		\begin{align*}
			\mathcal{F}\left[f(at-b)\right](\omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(at-b) e^{-i\omega t} \diff t
		\end{align*}
		设 $u = at-b$，则 $t = \frac{u+b}{a}$，$\diff t = \frac{1}{a} \diff u$。
		\begin{align*}
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) e^{-i\omega \frac{u+b}{a}} \frac{1}{|a|} \diff u \\[6pt]
			&= \frac{1}{|a|} e^{-i\omega b/a} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) e^{-i(\omega/a)u} \diff u \\[6pt]
			&= \frac{1}{|a|} e^{-i\omega b/a} \mathcal{F}[f]\left(\frac{\omega}{a}\right)
		\end{align*}
	\end{example}
	
	
	\begin{proposition}[导数的傅里叶变换性质]
		
		\( f \in C \cap L^p \)或$f  $紧支撑， $\mathcal{F}[f'(t)](\omega) = i\omega F(\omega)$。
		
		
		\begin{align*}
			\mathcal{F}[f'(t)] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-i\omega t} \diff t \\[6pt]
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( [f(t)e^{-i\omega t}]_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) (-i\omega e^{-i\omega t}) \diff t \right) \\[6pt]
			&= i\omega \mathcal{F}[f(t)](\omega) = i\omega F(\omega)
		\end{align*}
		其中边界项因 $f(t)=e^{-at^2}$ 在无穷远处趋于0而消失。	\( f \in C \cap L^p \) 或$f  $ 紧支撑都能做到。
		
	\end{proposition}
	
	\begin{proposition}[傅里叶变换的导数性质] $ F'(\omega)=-i\mathcal{F}[t f(t)](\omega)  $
		
		\begin{align*}
			F'(\omega) &= \frac{\diff}{\diff\omega} \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} \diff t \right) \\[6pt]
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) (-it) e^{-i\omega t} \diff t \\[6pt]
			&= -i \mathcal{F}[t f(t)](\omega)
		\end{align*}
		
	\end{proposition}

	
	\chapter{常见函数的傅里叶变换}
	\section{高斯函数的傅里叶变换}
	
	\begin{example}高斯函数的傅里叶变换
		
			\vspace{1\baselineskip} 
			\textbf{解法一：微分方程}
			
		我们求解高斯函数 $f(t) = e^{-at^2}$ ($a>0$) 的傅里叶变换。
		我们不直接积分，而是采用微分方程的方法。首先求 $f(t)$ 的导数：
		\begin{equation}
			f'(t) = -2at e^{-at^2} = -2at f(t) \label{eq:gauss_de}
		\end{equation}
		对 \eqref{eq:gauss_de} 两边取傅里叶变换，令 $F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)](\omega)$。
		
		
		左边：利用导数的傅里叶变换性质 $\mathcal{F}[f'(t)](\omega) = i\omega	F(\omega)$。
		
		
		右边：	利用时域乘法性质 $\mathcal{F}[t f(t)](\omega) = i F'(\omega)$。所以 $\mathcal{F}[-2at f(t)] = -2a \mathcal{F}[t f(t)] = -2a(iF'(\omega)) = -2aiF'(\omega)$。
		
		联立两边，得到关于 $F(\omega)$ 的常微分方程：
		\begin{equation*}
			i\omega F(\omega) = -2ai F'(\omega)
		\end{equation*}
		\begin{equation*}
			\frac{F'(\omega)}{F(\omega)} = -\frac{\omega}{2a}
		\end{equation*}
		积分可得：
		\begin{equation*}
			\ln|F(\omega)| = -\frac{\omega^2}{4a} + C_0 \implies F(\omega) = C e^{-\frac{\omega^2}{4a}}
		\end{equation*}
		为了确定常数 $C$，我们计算 $F(0)$:
		\begin{equation*}
			F(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-at^2} \diff t
		\end{equation*}
		利用高斯积分公式 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} \diff x = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$，我们得到
		\begin{equation*}
			C = F(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{\frac{\pi}{a}} = \frac{1}{\sqrt{2a}}
		\end{equation*}
		因此，高斯函数 $f(t)=e^{-at^2}$ 的傅里叶变换为：
		\begin{equation}
			\mathcal{F}[e^{-at^2}](\omega) = \frac{1}{\sqrt{2a}} e^{-\frac{\omega^2}{4a}}
		\end{equation}
		一个重要的特例是，当 $a=1/2$ 时，$f(t)=e^{-t^2/2}$，其傅里叶变换为 $F(\omega)=e^{-\omega^2/2}$。这表明标准正态分布的密度函数（除去常数因子）是其自身的傅里叶变换。
	
	\vspace{1\baselineskip} 
	\textbf{解法二：二重积分和围道积分}
	
	\begin{proposition}
		\label{ex:1}
		实数形式的高斯积分：
		\begin{equation}
			\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a(x-b)^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a>0, b \in \mathbb{R})
		\end{equation}
	\end{proposition}
	
	\begin{proof}
		\begin{equation*}
			A^2 = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a(x-b)^2} dx \right) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a(y-b)^2} dy \right)
		\end{equation*}
		
		\begin{equation*}
			= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a((x-b)^2 + (y-b)^2)} dx dy
		\end{equation*}
		
		由极坐标变量替换可得
		
		\begin{equation*}
			(x - b)^2 + (y - b)^2 = r^2
		\end{equation*}
		
		\begin{equation*}
			\begin{cases}
				x - b = r \cos\theta \\
				y - b = r \sin\theta
			\end{cases}
		\end{equation*}
		
		\begin{equation*}
			\begin{cases}
				dx = \cos\theta \, dr - r \sin\theta \, d\theta \\
				dy = \sin\theta \, dr + r \cos\theta \, d\theta
			\end{cases}
		\end{equation*}
		
		\begin{equation*}
			J = \begin{vmatrix}
				\cos\theta & -r \sin\theta \\
				\sin\theta & r \cos\theta
			\end{vmatrix} = r
		\end{equation*}
		
		\begin{equation*}
			dx dy = r \, d\theta \, dr
		\end{equation*}
		
		\begin{equation*}
			A^2 = \int_{-\pi}^{\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-ar^2} r \, dr \, d\theta	= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-ar^2} d(r^2) \, d\theta
		\end{equation*}
		
		
		\begin{equation*}
			= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left[ -\frac{1}{a} e^{-ar^2} \Big|_{0}^{+\infty} \right] d\theta= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{a} \, d\theta	= \frac{\pi}{a}
		\end{equation*}
		
		
		\begin{equation*}
			\therefore	\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a(x-b)^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
		\end{equation*}
		
	\end{proof}
	
	
	\begin{proposition}
		\label{ex:2}
		推广复数形式的高斯积分：
		\begin{equation}
			\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a(x+bi)^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a>0, b \in \mathbb{R})
		\end{equation}
	\end{proposition}
	
	\begin{proof}
		该积分等价于证明 $\int_{-\infty+bi}^{+\infty+bi} e^{-az^2} dz = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$。即$\int_{AB} e^{-az^2} dz$， 我们通过围道积分来证明。
		
		考虑复变函数 $f(z) = e^{-az^2}$，它在整个复平面上解析（为整函数）。我们选取如下所示的矩形闭合围道 $C$ 进行积分，该围道由四条路径组成：$AB$, $BC$, $CD$ 和 $DA$。
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=1.8, font=\small]
				% Define coordinates
				\def\R{2.5}
				\def\b{1.2}
				
				% Draw axes
				\draw[->, thick] (-\R-0.5, 0) -- (\R+0.5, 0) node[below] {$\mathrm{Re}(z)$};
				% Adjusted y-axis to not overlap with labels
				\draw[->, thick] (0, -\b-0.5) -- (0, \b+0.5) node[left] {$\mathrm{Im}(z)$};
				
				% Define the vertex coordinates
				\coordinate (D) at (-\R, 0);
				\coordinate (C) at (\R, 0);
				\coordinate (B) at (\R, \b);
				\coordinate (A) at (-\R, \b);
				
				% --- MODIFICATION: Path labels C1, C2 etc. are removed ---
				% Draw paths with arrows only
				\draw[blue, ultra thick, ->] (C) -- (D);
				\draw[blue, ultra thick, ->] (B) -- (C);
				\draw[blue, ultra thick, ->] (A) -- (B);
				\draw[blue, ultra thick, ->] (D) -- (A);
				
				% Add vertex coordinate labels (black)
				\node[below left=2pt] at (D) {$-R$};
				\node[below right=2pt] at (C) {$R$};
				\node[above right=2pt] at (B) {$R+bi$};
				\node[above left=2pt] at (A) {$-R+bi$};
				
				% Add vertex letter labels (red), positioned to avoid overlap
				\node[red, above=2pt, font=\large] at (A) {A};
				\node[red, above=2pt, font=\large] at (B) {B};
				\node[red, below=2pt, font=\large] at (C) {C};
				\node[red, below=2pt, font=\large] at (D) {D};
				
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		根据柯西积分定理，函数在闭合围道上的积分为零：
		\begin{equation}\label{kexi}
			\oint_C e^{-az^2} dz = \int_{AB} e^{-az^2} dz + \int_{BC} e^{-az^2} dz + \int_{CD} e^{-az^2} dz + \int_{DA} e^{-az^2} dz = 0
		\end{equation}
		
		我们分别计算 $R \to \infty$ 时各段路径的积分。
		
		
		
		\textbf{1. 路径 $BC$ 与 $DA$:}
		在路径 $BC$ 上，参数化为 $z = R+iy$, $z(b) = R+ib$，$z(0) = R$,$dz=idy$, 其中 $y$ 从 $0$ 到 $b$。
		\begin{equation*}
			\left| \int_{BC} e^{-az^2} dz \right|= \left| \int_{R+bi}^{R} e^{-a(R+iy)^2} i dy \right|= \left| \int_{b}^{0} e^{-a(R+iy)^2} i dy \right| \le \int_{b}^{0} |e^{-a(R^2 - y^2 + 2iRy)}| dy 
		\end{equation*}
		\begin{equation*}
			= \int_{b}^{0} e^{-aR^2} e^{ay^2} dy = e^{-aR^2} \int_{b}^{0} e^{ay^2} dy
		\end{equation*}
		由于 $\int_{b}^{0} e^{ay^2} dy$ 是一个关于 $b$ 的常数，而 $\lim_{R \to \infty} e^{-aR^2} = 0$，所以：
		\begin{equation*}
			\lim_{R \to \infty} \left| \int_{BC} e^{-az^2} dz \right| = 0
		\end{equation*}
		同理可证，路径 $AD$ 的积分也为零。
		
		\textbf{2. 路径 $AB$:}
		在路径 $AB$ 上，参数化为 $z=x+bi$, $dz=dx$, 其中 $x$ 从 $R$ 变化到 $-R$。,由柯西积分公式\eqref{kexi}可知
		\begin{equation*}
			\int_{BA} e^{-az^2} dz = -	\int_{CD} e^{-az^2} dz = \int_{DC}e^{-az^2} dz= 	\lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R}e^{-ax^2} dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}
		\end{equation*}
		
		
		这证明了高斯积分的结果可以从实变量推广到复变量。
		
	\end{proof}
	
	
	
	
	\begin{corollary}
		我们计算高斯函数 $f(x) = e^{-ax^2}$ 的傅里叶变换。
		\begin{align*}
			\mathcal{F}\{f\}(w) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} e^{-iwx} dx &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(ax^2 + iwx)} dx
		\end{align*}
	\end{corollary}
	
	
	为了计算这个积分，我们对指数部分进行配方:
	\begin{align*}
		ax^2 + iwx &= a\left(x^2 + \frac{iw}{a}x\right) \\
		&= a\left[ x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{iw}{2a} + \left(\frac{iw}{2a}\right)^2 - \left(\frac{iw}{2a}\right)^2 \right] \\
		&= a\left[ \left(x + \frac{iw}{2a}\right)^2 - \frac{i^2w^2}{4a^2} \right] = a\left(x + \frac{iw}{2a}\right)^2 + \frac{w^2}{4a}
	\end{align*}
	
	将配方后的结果代回积分中：
	\begin{align*}
		\mathcal{F}\{f\}(w) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ - \left[ a\left(x + \frac{iw}{2a}\right)^2 + \frac{w^2}{4a} \right] } dx= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{w^2}{4a}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a\left(x + \frac{iw}{2a}\right)^2} dx
	\end{align*}
	
	根据命题\eqref{ex:2}：
	\begin{equation*}
		\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a\left(x + \frac{iw}{2a}\right)^2} dx  = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
	\end{equation*}
	
	因此，最终结果为：
	\begin{align*}
		\mathcal{F}\{f\}(w) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{w^2}{4a}} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{a}} = \frac{1}{\sqrt{2a}} e^{-\frac{w^2}{4a}}
	\end{align*}
	
	
	
	
\end{example}
	
		\vspace{1\baselineskip} 
	\begin{corollary}[利用基本性质计算高斯函数的傅里叶变换]
		\label{ex:gaussian_transform_properties}
		\begin{equation*}
			f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}r} e^{-\frac{(t-3)^2}{2r^2}}, \quad t \in (-\infty, \infty), r>0
		\end{equation*}
		的傅里叶变换。
	\end{corollary}
	
	\begin{proof}[解]
		我们的策略是，从一个基本的高斯函数 $g(t)=e^{-t^2}$ 出发，通过尺度变换、时域平移和线性性质来得到目标函数 $f(t)$ 的傅里叶变换。
		
		\begin{enumerate}
			\item \textbf{确定基本函数及其变换}
			
			我们已知基本高斯函数 $g(t) = e^{-t^2}$ 的傅里叶变换为（根据前面示例，令 $a=1$）：
			\begin{equation*}
				G(\omega) = \mathcal{F}[g(t)](\omega) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\omega^2}{4}}
			\end{equation*}
			目标函数 $f(t)$ 的指数部分可以改写为：
			\begin{equation*}
				-\frac{(t-3)^2}{2r^2} = -\left(\frac{t-3}{\sqrt{2}r}\right)^2
			\end{equation*}
			因此，目标函数可以表示为：
			\begin{equation*}
				f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}r} \cdot g\left(\frac{t-3}{\sqrt{2}r}\right)
			\end{equation*}
			这对应于对基本函数 $g(t)$ 进行如下操作：
			\begin{itemize}
				\item 尺度变换：变量 $t$ 被缩放了 $a = \frac{1}{\sqrt{2}r}$。
				\item 时域平移：函数被平移了 $t_0 = 3$。
				\item 常数倍乘：整个函数乘以了常数 $C = \frac{1}{\sqrt{2\pi}r}$。
			\end{itemize}
			
			\item \textbf{应用傅里叶变换性质}
			
			我们先求解 $h(t) = g\left(\frac{t-3}{\sqrt{2}r}\right) = g(a(t-t_0))$ 的傅里叶变换 $H(\omega)$。
			根据尺度变换性质 $\mathcal{F}[\phi(at)] = \frac{1}{|a|}\mathcal{F}[\phi](\frac{\omega}{a})$ 和时域平移性质 $\mathcal{F}[\phi(t-t_0)] = e^{-i\omega t_0}\mathcal{F}[\phi](\omega)$，我们组合得到：
			\begin{equation*}
				\mathcal{F}[\phi(a(t-t_0))](\omega) = \frac{1}{|a|}e^{-i\omega t_0}\mathcal{F}[\phi]\left(\frac{\omega}{a}\right)
			\end{equation*}
			将 $g(t)$ 代入 $\phi(t)$，并使用 $a = \frac{1}{\sqrt{2}r}$ 和 $t_0 = 3$：
			\begin{align*}
				H(\omega) &= \mathcal{F}\left[g\left(\frac{t-3}{\sqrt{2}r}\right)\right](\omega) \\[6pt]
				&= \frac{1}{|1/\sqrt{2}r|} e^{-i\omega \cdot 3} \cdot G\left(\frac{\omega}{1/\sqrt{2}r}\right) \\[6pt]
				&= \sqrt{2}r \cdot e^{-i3\omega} \cdot G(\omega\sqrt{2}r)
			\end{align*}
			现在将 $G(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\omega^2}{4}}$ 的表达式代入：
			\begin{align*}
				H(\omega) &= \sqrt{2}r \cdot e^{-i3\omega} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{(\omega\sqrt{2}r)^2}{4}} \right) = r \cdot e^{-i3\omega} \cdot e^{-\frac{r^2\omega^2}{2}} 
			\end{align*}
			
			最后，利用傅里叶变换的线性性质，乘上常数因子 $C = \frac{1}{\sqrt{2\pi}r}$：
			\begin{align*}
				\mathcal{F}[f(t)](\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}  e^{-i3\omega} \cdot e^{-\frac{r^2\omega^2}{2}}
			\end{align*}
		\end{enumerate}
	\end{proof}
	
	
		\section{Sinc函数的傅里叶变换}
	
	
	\begin{example}[Sinc 函数的傅里叶变换]
	求 $\operatorname{sinc}(t) = \frac{\sin(t)}{t}$ 的傅里叶变换。
			\vspace{1\baselineskip} 
		
		为此，我们先计算一个通用的矩形脉冲函数的傅里叶变换，再利用傅里叶变换的对偶性质。
		
		首先，定义一个宽度为 $2T$、高度为 1、中心在原点的矩形脉冲函数 $\operatorname{rect}_T(t)$:
		\begin{equation*}
			\operatorname{rect}_T(t) =
			\begin{cases}
				1, & |t| < T \\
				0, & |t| > T
			\end{cases}
		\end{equation*}
		注意：这个函数有时也被记作 $\operatorname{rect}\left(\frac{t}{2T}\right)$。
		
		接下来，我们计算这个通用矩形脉冲的傅里叶变换：
		\begin{align*}
			\mathcal{F}[\operatorname{rect}_T(t)](\omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{rect}_T(t) e^{-i\omega t} \diff t = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-T}^{T} 1 \cdot e^{-i\omega t} \diff t \\[6pt]
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ \frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} \right]_{-T}^{T} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{e^{-i\omega T} - e^{i\omega T}}{-i\omega} \right) \\[6pt]
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{2\sin(\omega T)}{\omega}=  \sqrt{\frac{2}{\pi}} T \frac{\sin(\omega T)}{\omega T} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} T \operatorname{sinc}(\omega T)
		\end{align*}
		我们得到了通用的变换对：
		\begin{equation*}
			\mathcal{F}[\operatorname{rect}_T(t)] = \sqrt{\frac{2}{\pi}} T \operatorname{sinc}(\omega T)
		\end{equation*}
		
		现在，我们考虑 $T=1$ 的特例。此时的矩形脉冲 $\operatorname{rect}_1(t)$ 通常简记为 $\operatorname{rect}(t)$，其宽度为 2。将其代入上述通用结果：
		\begin{equation*}
			\mathcal{F}[\operatorname{rect}(t)] = \sqrt{\frac{2}{\pi}} (1) \operatorname{sinc}(\omega \cdot 1) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \operatorname{sinc}(\omega)
		\end{equation*}
		
		\begin{proposition}[傅里叶变换的对偶性]\label{prop:ft_duality}
			如果函数 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)](\omega)$，并且 $F$ 也满足进行傅里叶变换的条件，则有
			\begin{equation}
				\mathcal{F}[F(t)](\omega) = f(-\omega)
			\end{equation}
		\end{proposition}
		
		\begin{proof}
			我们从傅里叶逆变换的定义开始：
			\begin{equation*}
				f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega') e^{i\omega' t} \diff \omega'
			\end{equation*}
			为了避免变量混淆，我们暂时将频域变量写作 $\omega'$。现在，我们将上式中的变量 $t$ 替换为 $-\omega$：
			\begin{equation*}
				f(-\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega') e^{i\omega' (-\omega)} \diff \omega' = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega') e^{-i\omega \omega'} \diff \omega'
			\end{equation*}
			在上式右侧，积分变量 $\omega'$ 是一个哑变量 (dummy variable)，我们可以将其重命名为 $t$：
			\begin{equation*}
				f(-\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} F(t) e^{-i\omega t} \diff t
			\end{equation*}
			根据傅里叶变换的定义，上式的右侧正是函数 $F(t)$ 的傅里叶变换 $\mathcal{F}[F(t)](\omega)$。因此，我们证明了：
			\begin{equation*}
				\mathcal{F}[F(t)](\omega) = f(-\omega)
			\end{equation*}
		\end{proof}
		
		
		
		根据傅里叶变换的对偶性质，如果 $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$，那么 $\mathcal{F}[F(t)] = f(-\omega)$。
		令 $f(t) = \operatorname{rect}(t)$，$F(\omega) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \operatorname{sinc}(\omega)$。则：
		\begin{equation*}
			\mathcal{F}\left[\sqrt{\frac{2}{\pi}} \operatorname{sinc}(t)\right] = \operatorname{rect}(-\omega)
		\end{equation*}
		由于 $\operatorname{rect}$ 是偶函数，$\operatorname{rect}(-\omega) = \operatorname{rect}(\omega)$。利用傅里叶变换的线性性质：
		\begin{equation*}
			\sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathcal{F}[\operatorname{sinc}(t)] = \operatorname{rect}(\omega)
		\end{equation*}
		整理可得 $\operatorname{sinc}(t)$ 的傅里叶变换：
		\begin{equation}
			\mathcal{F}[\operatorname{sinc}(t)] = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \operatorname{rect}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \chi_{[-1,1]}(\omega)
		\end{equation}
		这个结果表明，时域中的 $\operatorname{sinc}$ 函数对应频域中的矩形脉冲函数，反之亦然。
	\end{example}
	
	\vspace{1\baselineskip} 
	
	\begin{example}计算函数 $f(t) = e^{-2it} \frac{\sin(6t)}{6t}$ 的傅里叶变换。
		
			\vspace{1\baselineskip} 
		首先，注意到 $\frac{\sin(6t)}{6t}$ 是一个 $\operatorname{sinc}(6t)$ 函数。因此，函数 $f(t)$ 可以写成：
		\begin{equation*}
			f(t) = e^{-2it} \operatorname{sinc}(6t)
		\end{equation*}
		
		接下来，我们利用已知的傅里叶变换对来计算这个函数的傅里叶变换。
		\begin{enumerate}
			\item 我们已知基本的变换对：
			\begin{equation*}
				\mathcal{F}[\operatorname{sinc}(t)] = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{rect}(\omega)
			\end{equation*}
			
			\item 由尺度变换性质$\mathcal{F}[f(at)](\omega) = \frac{1}{|a|} \mathcal{F}[f(t)]\left(\frac{\omega}{a}\right)$，对于 $\operatorname{sinc}(6t)$，其傅里叶变换为：
			\begin{equation*}
				\mathcal{F}[\operatorname{sinc}(6t)] = \frac{1}{|6|} \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{6}\right) \right) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{1}{6} \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{6}\right)
			\end{equation*}
			
			\item 由频域平移性质	$\mathcal{F}[e^{i\omega_0 t} f(t)](\omega) = \mathcal{F}[f(t)](\omega - \omega_0)$，复指数因子 $e^{-2it}$ 对应于频域平移 $\omega \to \omega - (-2) = \omega + 2$，因此：
			\begin{equation*}
				\mathcal{F}[e^{-2it}\operatorname{sinc}(6t)] = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{1}{6} \operatorname{rect}\left(\frac{\omega+2}{6}\right)
			\end{equation*}
		\end{enumerate}
	\end{example}
	

	
	
	
	
	
	
	\chapter{广义函数}
	\label{chap:generalized_functions}
	
	\section{Dirac Delta 函数与广义函数}
	
	\begin{definition}Dirac Delta 函数的定义
		
定义连续函数空间上的点值泛函，也称筛选性质：对于在 $x=0$ 处连续的任意函数 $f(x)$，有
		\begin{equation}
			\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) f(x) \diff x = f(0)
		\end{equation}
		也可以写成$\langle \delta, f \rangle =f(0)$.当$f=1$,	
		\begin{equation}
				\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x)  \diff x = 1
		\end{equation}
					
		\end{definition}
		
	\begin{proposition}Delta 函数弱收敛,$f$为连续函数
		
		Dirac Delta 函数 $\delta(x)$ 可以看作是当 $\varepsilon \to 0$ 时以下函数的极限（弱收敛）：
		\begin{equation}
			\delta_\varepsilon(x) = 
			\begin{cases}
				\frac{1}{2\varepsilon} & x \in (-\varepsilon, \varepsilon) \\[6pt]
				0 & x \notin (-\varepsilon, \varepsilon)
			\end{cases}
		\end{equation}
		积分意义下弱收敛，而不是函数列收敛
			\begin{equation}
			\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) f(x) \diff x =\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_\varepsilon(x) f(x) \diff x= f(0)
		\end{equation}
		\end{proposition}
		\begin{proof}
			\begin{align*}
				\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_\varepsilon(x) f(x) \diff x &= \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} \frac{1}{2\varepsilon} f(x) \diff x \\[6pt]
				&\approx \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{2\varepsilon} \cdot f(t) \cdot (2\varepsilon) \quad \text{($t \in (-\varepsilon, \varepsilon)$, 积分中值定理)} \\[6pt]
				&= f(0)
			\end{align*}
		\end{proof}

	
	
	\begin{corollary}Delta 函数的傅里叶变换
		\begin{equation}
			\mathcal{F}[\delta(t)] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) e^{-i\omega t} \diff t = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-i\omega \cdot 0} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
		\end{equation}
	\end{corollary}
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	\begin{proposition}广义函数的导数性质,一般$u \in \mathcal{D}(\R)$紧支撑的无穷可微函数
		\begin{equation}
			\langle u', f \rangle = -\langle u, f' \rangle 
		\end{equation}
	\end{proposition}
\begin{proof}
	\begin{equation}
		\int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(x) f(x) \, dx = \delta(x) f(x) \bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) f'(x) \, dx = -f'(0)
	\end{equation}	
	
	分部积分的关键在于只需保证边界为0即可。对于广义函数，其中一个函数紧支撑所以在边界为0；如果是傅立叶变换就可以降低要求，一个函数有界，一个函数在边界趋于0也能保证边界为0。
	
	$u(x)$是紧支撑的$k$阶可微函数。
	如果是$k$阶导就用$k$次分部积分即可得。
\end{proof}
	
	\begin{definition}定义Delta 函数导数的筛选性质
		
		Delta 函数的 $k$ 阶导数 $\delta^{(k)}(x)$ 具有以下筛选性质：
		\begin{equation}
			\int_{-\infty}^{+\infty} \delta^{(k)}(x) f(x) \diff x = (-1)^k f^{(k)}(0)
		\end{equation}
	\end{definition}
	
	下面是一个不严谨的证明！！！
	\begin{proof}
	\begin{equation}
		\int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(x) f(x) \, dx = \delta(x) f(x) \bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) f'(x) \, dx = -f'(0)
	\end{equation}	
	\end{proof}
因为$\delta(x)$不是一个函数，而是一个点值泛函（分步）的定义，我们不知他长什么样，函数列$\delta_\epsilon(x)$只是弱收敛于$\delta(x)$.尽管$f$紧支撑，按理来说分部积分边界为0，但是为$\delta(x)$本身即不是一个函数，没有形式上的表达。
	
		\begin{proposition}[平移的 Delta 函数]
		将 Delta 函数沿 $x$ 轴平移 $x_0$ 个单位，得到 $\delta(x-x_0)$，其筛选性质变为：
		\begin{equation}
			\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x-x_0) f(x) \diff x = f(x_0)
		\end{equation}
		\textbf{推论}: 其导数的筛选性质相应地变为：
		\begin{equation}
			\int_{-\infty}^{+\infty} \delta^{(k)}(x-x_0) f(x) \diff x = (-1)^k f^{(k)}(x_0)
		\end{equation}
	\end{proposition}
	
	  
\begin{definition}Heaviside 阶跃函数
	\begin{equation}
		u(x) =  
		\begin{cases}
			1 & x > 0 \\[6pt]
			0 & x < 0
		\end{cases}
	\end{equation}
	
	\begin{definition}[广义函数|分布]\label{def:heaviside_dist}
		该分布通过积分作用于紧支撑的无穷可微函数$\mathcal{D}(\R)$：
		\begin{equation}
			\langle u, \varphi \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} u(x)\varphi(x) \diff x = \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \diff x
		\end{equation}
	\end{definition}
	
	
	\begin{proposition}广义函数的弱导数
		
		在分布的意义下，Heaviside 分布 $u$ 的导数是 Dirac Delta 分布 $\delta$。
		\begin{equation}
			\langle u', \varphi \rangle = \langle \delta, \varphi \rangle
		\end{equation}
	\end{proposition}
	
	\begin{proof}
		\begin{align*}
			\langle u', \varphi \rangle &= -\langle u, \varphi' \rangle  = -\int_{0}^{+\infty} \varphi'(x) \diff x  \\
			&= -[\varphi(x)]_{0}^{+\infty} = -(\lim_{x \to \infty} \varphi(x) - \varphi(0))
		\end{align*}
		由于 $\varphi$ 是一个测试函数，它具有紧支撑，边界恒为零。因此，$\lim_{x \to \infty} \varphi(x) = 0$。
		于是，
		\begin{equation*}
			\langle u', \varphi \rangle = - (0 - \varphi(0)) = \varphi(0)
		\end{equation*}
	因为	$	\langle \delta, \varphi \rangle = \varphi(0)$，
		所以$ \langle u', \varphi \rangle  = \langle \delta, \varphi \rangle$.
	\end{proof}
	
	
	下面是一个非常不严谨的证明！！！
	\begin{proof}
		\begin{equation}
		u(x) = \int_{-\infty}^{x}\lim_{n \to 0} \delta(t_n) \diff t = 
		\begin{cases}
			1 & x > 0 \\[6pt]
			0 & x < 0
		\end{cases}
	\end{equation}
	因此，Dirac Delta 函数可以视为 Heaviside 阶跃函数的弱导数：
	\begin{equation*}
		u'(x) = \delta(x)
	\end{equation*}

\end{proof}


\end{definition}




	\section{单位阶跃函数的傅里叶变换}
	
		\vspace{1\baselineskip}
	\begin{example}Heaviside 阶跃函数的傅里叶变换

\vspace{1\baselineskip}
		直接计算 $u(t)$ 的傅里叶变换是困难的，我们通过一个极限过程来求得。考虑函数
		\begin{equation*}
			f(t) = 
			\begin{cases}
				e^{-\beta t} & t \ge 0 \\[6pt]
				0 & t < 0
			\end{cases}
			\quad (\beta > 0)
		\end{equation*}
		当 $\beta \to 0^+$ 时，$f(t) \to u(t)$。我们首先计算 $f(t)$ 的傅里叶变换：
		\begin{align*}
			\mathcal{F}[f(t)] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} \diff t = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{+\infty} e^{-(\beta+i\omega)t} \diff t \\[6pt]
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ -\frac{1}{\beta+i\omega} e^{-(\beta+i\omega)t} \right]_0^{+\infty} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\beta+i\omega}
		\end{align*}
		现在，我们取 $\beta \to 0^+$ 的极限来得到 $\mathcal{F}[u(t)]$：
		\begin{align*}
			\mathcal{F}[u(t)] &= \lim_{\beta \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\beta+i\omega} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{\beta \to 0^+} \frac{\beta-i\omega}{\beta^2+\omega^2} \\[6pt]
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( \lim_{\beta \to 0^+} \frac{\beta}{\beta^2+\omega^2} - i \lim_{\beta \to 0^+} \frac{\omega}{\beta^2+\omega^2} \right)
		\end{align*}
		我们分别处理两个极限。
		
		对于第一项，当 $\omega \neq 0$ 时极限为 0，当 $\omega = 0$ 时极限为 $\infty$，这表明它与 $\delta(\omega)$ 成正比。
		\begin{equation*}
			\lim_{\beta \to 0} \frac{\beta}{\beta^2 + \omega^2} = 
			\begin{cases} 
				0 & \omega \neq 0 \\
				\infty & \omega = 0 
			\end{cases}
			= C \cdot \delta(\omega)
		\end{equation*}
		
		我们通过积分确定其系数 $C$：
		\begin{equation*}
			\int_{-\infty}^{+\infty} \lim_{\beta \to 0^+} \frac{\beta}{\beta^2+\omega^2} \diff\omega = \int_{-\infty}^{+\infty} C \delta(\omega) \diff\omega = C
		\end{equation*}
		（上面出现了$\delta $函数的形式表达，所以并不严谨，有代码修改，从分布上看看）积分和极限交换次序，
		\begin{equation*}
			\lim_{\beta \to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\beta}{\beta^2+\omega^2} \diff\omega = \lim_{\beta \to 0^+} \left[ \arctan\left(\frac{\omega}{\beta}\right) \right]_{-\infty}^{+\infty} = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi
		\end{equation*}
		因此 $C=\pi$，即 $\lim_{\beta \to 0^+} \frac{\beta}{\beta^2+\omega^2} = \pi \delta(\omega)$。
		对于第二项，我们得到柯西主值 $\mathcal{P}\left(\frac{1}{\omega}\right)$:
		\begin{equation*}
			\lim_{\beta \to 0^+} \frac{\omega}{\beta^2+\omega^2} = \frac{1}{\omega} \quad (\text{或更严格地写作 } \mathcal{P}\frac{1}{\omega})
		\end{equation*}
		综合起来，我们得到 Heaviside 阶跃函数的傅里叶变换：
		\begin{equation}
			\mathcal{F}[u(t)] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( \pi \delta(\omega) - \frac{i}{\omega} \right)
		\end{equation}
	\end{example}
	

	

	
	
	
	
\end{document}